解析法

• 原理：通过建立精确的运动学方程，利用数学推导的方式直接求解关节变量。一般是基于机构的正运动学模型（比如通过 DH 参数法建立起的从关节变量到末端执行器位置和姿态的坐标变换关系），将末端的已知位置和姿态信息代入方程，然后经过代数运算、三角函数变换等数学手段，求解出各个关节的角度或位移等变量值。

• 示例及应用场景：对于结构相对简单、具有一定几何对称性的机械臂，比如平面 2R 机械臂（由两个转动关节构成的平面机械臂），可以根据其正运动学方程，结合末端在平面内的坐标位置已知信息，通过三角函数关系推导出关节角度的解析解。在工业生产中，一些具有固定轨迹运动要求的简单装配机器人，常可采用解析法来快速准确地获取关节变量，实现精确的定位操作。

• 优缺点：优点是能得到精确的解析表达式，计算效率较高，一旦推导完成，在实时计算关节变量时速度很快；缺点是对于复杂的空间机构，推导过程可能会非常复杂，甚至难以得到封闭形式的解析解，因为涉及到大量的非线性方程联立求解以及复杂的三角函数化简等问题。

数值迭代法

• 原理：将运动学逆解问题转化为一个数值优化问题，设定一个目标函数（通常是使末端执行器的实际位置和姿态与已知的期望位置和姿态之间的误差最小化），然后通过迭代计算的方式不断调整关节变量的值，使得目标函数的值逐步趋近于最小（理想情况为零）。常见的迭代算法有牛顿 - 拉夫逊法、梯度下降法等。

• 示例及应用场景：在复杂的多自由度机器人，如具有 6 个以上自由度的工业机器人或者仿人机器人进行复杂空间轨迹跟踪任务时，很难用解析法求出逆解，就可以采用数值迭代法。例如，机器人要沿着一条复杂的空间曲线轨迹运动，已知曲线上各点的位置和姿态作为目标，通过数值迭代不断更新关节变量，使机器人末端尽可能贴近目标轨迹。

• 优缺点：优点是适用范围广，几乎可以处理各种复杂机构的逆解问题，不受机构复杂程度和运动学方程形式的限制；缺点是计算量通常较大，每次迭代都需要重新计算目标函数和其导数（对于需要导数信息的算法）等相关量，求解速度相对较慢，而且可能存在局部最优解问题，不一定能保证找到全局最优的关节变量解。

几何法

• 原理：利用机构的几何结构特点，通过几何图形关系、空间向量关系等来求解关节变量。把机构抽象成几何模型，分析末端执行器与各关节之间的几何位置关系，根据已知的末端位置和姿态，通过几何定理、向量运算等手段推导出关节变量。

• 示例及应用场景：对于一些具有明显几何特征的机构，像具有平行四边形结构的机械臂或者特定角度约束的空间连杆机构等，运用几何法较为直观。比如在空间中一个由几个连杆组成且存在垂直、平行等几何关系的抓取机构，已知要抓取物体的位置，通过分析各连杆构成的几何空间形状以及向量方向，就能确定各关节的角度或位移。

• 优缺点：优点是直观易懂，对于具有特定几何结构的机构可以快速地进行分析和求解，不需要复杂的数学推导和数值计算；缺点是通用性较差，高度依赖机构本身的几何特性，对于几何结构复杂、不具有明显几何规律的机构很难适用。

伪逆法

• 原理：基于机器人的雅可比矩阵（它描述了关节速度与末端执行器线速度、角速度之间的映射关系），当已知末端执行器的期望速度时，通过求雅可比矩阵的伪逆来计算关节速度，然后再通过积分等方式得到关节变量。在运动学逆解中，可将末端位置和姿态的变化等效为一定的速度要求，利用伪逆法求解对应的关节运动。

• 示例及应用场景：在机器人需要进行柔顺控制、实时跟踪动态目标的场景下较为常用。例如，机器人在与外界环境有交互作用的任务中，如协作机器人与人类一同进行装配工作，需要实时根据末端与目标物体的相对位置变化调整关节运动，这时伪逆法可以通过雅可比矩阵实时计算关节速度，进而实现关节变量的调整。

• 优缺点：优点是可以方便地处理冗余自由度机构（自由度大于任务空间维度的机构）的逆解问题，能在满足一定约束条件下给出合理的关节变量解；缺点是同样面临计算雅可比矩阵及其伪逆的计算量问题，并且在奇异位形（雅可比矩阵不可逆的情况）附近，计算结果可能会出现不稳定或不准确的情况。